Warum hat PI unendlich viele Nachkommastellen?

Willkommen zu meinem ersten Klugscheißer-Post! Eine Freundin hat mich gefragt, warum PI unendlich viele Nachkommastellen hat. Hier meine Antwort.

Die Kreiszahl π (Pi, rund 3.14159) ist das Verhältnis des Umfangs U eines Kreises zu seinem Durchmesser d, also π = U / d (oder wie auf dem Bild auf englisch C / d).


A diagram of a circle, with the width labeled as diameter, and the perimeter labeled as circumference
By Kjoonlee, based on previous work by w:User:PapeschrOwn work, Public Domain, Link


Da diese beiden Größen zueinander proportional sind (der Umfang eines Kreises wächst mit seinem Durchmesser und umgekehrt) ist die Zahl konstant, also für jeden Kreis gleich [1] (zumindest in der flachen euklidischen Geometrie, aber das Fass machen wir jetzt nicht auf).

Warum diese Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, veranschaulichen wir anhand eines Beispiels. Allerdings verwenden wir nicht U/d, sondern den einfacheren Bruch 1/3 (also die Zahl, die genau dreimal in die Eins passt). Das entspricht 0,3333…, also einer Null mit unendlich vielen Dreien nach dem Komma.

3 * 0,333 ist nur 0,999. Verdoppeln wir die Nachkommastellen sind wir schon bei 3 * 0,333333 = 0,999999. Je mehr Dreien wir anhängen, desto näher kommen wir also der Eins – erreichen sie aber erst nach unendlich vielen Schritten. Es gibt also keine Dezimalzahl mit nur endlich vielen Nachkommastellen, die exakt dreimal in die Eins passt – nach jeder Nachkommastelle kann die Zahl mit einer weiteren trotzdem noch genauer ausgedrückt werden. [2]

Da π eine irrationale Zahl ist, sind die Nachkommastellen chaotisch, aber das Prinzip ist dasselbe: es gibt keine Dezimalzahl, die das Verhältnis von Kreisumfang zu -durchmesser mit endlich vielen Nachkommastellen präzise darstellen kann.


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Quellen

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl, stand 29.03.2020
[2] https://www.gutefrage.net/frage/warum-liefern-manche-rechnungen-unendlich-nachkommastellen, stand 29.03.2020